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Temas varios => Saloon de Darkstone. Punto de reunión y charla variada. => Mensaje iniciado por: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 06:13:59 pm

Título: La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 06:13:59 pm
¿Sabéis cuánto da la suma infinita de todos los números naturales? Me refiero a:

1+2+3+4+5+6+7+8+... y así con todos los enteros positivos hasta infinito.

¿Cuánto piensas que da? Debe ser un número grande, gigantesco ¿verdad?

 :) :) :)

Venga, intenta adivinarlo.

 ;) ;) ;)

No vais a poder

 :D :D :D

¿Os lo cuento ya?

El resultado de esta suma es conocido, y es completa y absolutamente flipante. El resultado de esta suma infinita es -1/12 (menos un doceavo). Sí, habéis leído bien, sumar todos los números naturales da como resultado un número negativo y de valor absoluto inferior a 1. Justo lo que no pensabas que iba a ser.

  ??? ??? ???

¿Pero cómo puede ser esto? Si paras la serie en alguna parte, obtienes un número enorme y positivo, ¿me estás contando que la "infinitud" de la serie rompe las reglas intuitivas y convierte el resultado en -1/12? ¿Qué magia no-convergente es ésta?

 :o :o :o

Pues sí. Esto no es un truco ni una ilusión, esto es un cálculo matemático real que de hecho ya se ha empleado en algunos estudios físicos. Lo mejor de todo es que su demostración, aunque algo larga, es tan sencilla que hasta un niño puede entenderlo, y resulta muy interesante.

S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12

Vamos a demostrarlo:

Para calcular S antes tenemos que calcular un par de series distintas. La primera es la serie A:

A= 1-1+1-1+1-1+1-1...

A es una suma de unos, positivos en términos impares y negativos en pares. Uno más uno menos uno más uno menos uno...

Intuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=1. Ummmm.... ¿dará cero o dará uno? Vamos a calcular de verdad:

El resultado real se consigue dándonos cuenta que 1-A da la misma serie que la propia A:

1-A = 1- (1-1+1-1+...) = 1-1+1-1+1-... = A

Sabiendo que 1-A=A, despejamos A=1/2. Resulta bastante intuitivo que el resultado bueno en vez de ser 0 ó 1, sea la media de cero y uno. Ni pa ti ni pa mí. Ya tenemos esta.

La segunda serie que hace falta analizar es B, la suma de todos los números naturales, pero a diferencia de S en la que todos suman, en B suman los términos impares y restan los pares:

B=1-2+3-4+5-6+7...

Esta serie se calcula sumando dos veces B, pero desplazando la suma una posición a la derecha:

Código: [Seleccionar]
   B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +...
+  B =     1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
--------------------------------------------
  2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...

Ese resultado me suena. Anda mira, el doble de B es igual a A, la cual ya sabemos que da 1/2. Así que 2B=1/2, por tanto despejamos B=1/4. Ya tenemos esta otra también.

Ahora ya tenemos todas las herramientas necesarias para calcular la suma de todos los números naturales. Entremos a matar:

El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:

Código: [Seleccionar]
   S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...
-  B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -...
--------------------------------------------
 S-B = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 +12 + 0 +...

Entonces tenemos que S-B=4+8+12+16+20+... .Esta también es una suma infinita, que aumenta de 4 en 4.

Sacamos 4 como factor común y tenemos que S-B=4*(1+2+3+4+5+6+7...)

Mira, lo que está entre paréntesis es la propia serie S, así que podemos escribir:

S-B=4*S. Sabiendo que B=1/4, sustituimos:

S-1/4=4*S. Y de aquí no cuesta mucho despejar que S=-1/12

 8) 8) 8)

Por tanto:

S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12

Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: maul en Diciembre 18, 2017, 06:38:15 pm
(https://78.media.tumblr.com/6c933edb44b7ffb4e54bd7cf00ef04d8/tumblr_mu1kwrrBku1rvner1o1_250.gif)
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: UTHIEL en Diciembre 18, 2017, 06:48:39 pm
¿Sabéis cuánto da la suma infinita de todos los números naturales? Me refiero a:

1+2+3+4+5+6+7+8+... y así con todos los enteros positivos hasta infinito.

¿Cuánto piensas que da? Debe ser un número grande, gigantesco ¿verdad?

 :) :) :)

Venga, intenta adivinarlo.

 ;) ;) ;)

No vais a poder

 :D :D :D

¿Os lo cuento ya?

El resultado de esta suma es conocido, y es completa y absolutamente flipante. El resultado de esta suma infinita es -1/12 (menos un doceavo). Sí, habéis leído bien, sumar todos los números naturales da como resultado un número negativo y de valor absoluto inferior a 1. Justo lo que no pensabas que iba a ser.

  ??? ??? ???

¿Pero cómo puede ser esto? Si paras la serie en alguna parte, obtienes un número enorme y positivo, ¿me estás contando que la "infinitud" de la serie rompe las reglas intuitivas y convierte el resultado en -1/12? ¿Qué magia no-convergente es ésta?

 :o :o :o

Pues sí. Esto no es un truco ni una ilusión, esto es un cálculo matemático real que de hecho ya se ha empleado en algunos estudios físicos. Lo mejor de todo es que su demostración, aunque algo larga, es tan sencilla que hasta un niño puede entenderlo, y resulta muy interesante.

S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12

Vamos a demostrarlo:

Para calcular S antes tenemos que calcular un par de series distintas. La primera es la serie A:

A= 1-1+1-1+1-1+1-1...

A es una suma de unos, positivos en términos impares y negativos en pares. Uno más uno menos uno más uno menos uno...

Intuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=0. ¿Qué dará?

El resultado real se consigue dándonos cuenta que 1-A da la misma serie que la propia A:

1-A = 1- (1-1+1-1+...) = 1-1+1-1+1-... = A

Sabiendo que 1-A=A, despejamos A=1/2. Resulta bastante intuitivo que el resultado bueno en vez de ser 0 ó 1, sea la media de cero y uno. Ni pa ti ni pa mí. Ya tenemos esta.

La segunda serie que hace falta analizar es B, la suma de todos los números naturales, pero a diferencia de S en la que todos suman, en B suman los términos impares y restan los pares:

B=1-2+3-4+5-6+7...

Esta serie se calcula sumando dos veces B, pero desplazando la suma una posición a la derecha:

Código: [Seleccionar]
   B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +...
+  B =     1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
--------------------------------------------
  2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...

Ese resultado me suena. Anda mira, el doble de B es igual a A, la cual ya sabemos que da 1/2. Así que 2B=1/2, por tanto despejamos B=1/4. Ya tenemos esta otra también.

Ahora ya tenemos todas las herramientas necesarias para calcular la suma de todos los números naturales. Entremos a matar:

El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:

Código: [Seleccionar]
   S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...
-  B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -...
--------------------------------------------
 S-B = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 +12 + 0 +...

Entonces tenemos que S-B=4+8+12+16+20+... .Esta también es una suma infinita, que aumenta de 4 en 4.

Sacamos 4 como factor común y tenemos que S-B=4*(1+2+3+4+5+6+7...)

Mira, lo que está entre paréntesis es la propia serie S, así que podemos escribir:

S-B=4*S. Sabiendo que B=1/4, sustituimos:

S-1/4=4*S. Y de aquí no cuesta mucho despejar que S=-1/12

 8) 8) 8)

Por tanto:

S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12
Discrepo un poco...
Decir que sumatorio de (-1) elevado a n cuando n va desde 1 a infinito es 1/2... Es una temeridad...
Mas bien vale infinito...  Se pueden encontrar 2 subsucesiones diferentes convergentes a numeros diferentes,  1 y - 1...
Luego es una serie divergente,  ya que si fuese convergente cualquier subsucesion de la general convergerian al mismo valor...
Luego...  Lo que digas luego no sirve!!!


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Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 07:11:58 pm
No descartes todo esto tan rápido.

Las sumas divergentes infinitas no pueden sumarse de forma tradicional, pero se les puede asignar la técnica Ramanujan para calcularles una "suma", que se termina empleando y aplicando en campos físicos. Busca "Sumatorio de Ramanujan".
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: maul en Diciembre 18, 2017, 07:17:49 pm
Malditos matematicos lo unico bueno que sacaron fue el Magic
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: UTHIEL en Diciembre 18, 2017, 07:21:17 pm
No descartes todo esto tan rápido.

Las sumas divergentes infinitas no pueden sumarse de forma tradicional, pero se les puede asignar la técnica Ramanujan para calcularles una "suma", que se termina empleando y aplicando en campos físicos con buenos resultados. Busca "Sumatorio de Ramanujan". Es el tipo que calculó esto por primera vez.
Muy bien, informado estoy,  pero por favor,  indica en el titulo del hilo que es Suma de Ramanujan...
Ese es el problema,  usas la palabra "suma" cuando no es la suma tradicional sino la de Ramanujan...
Luego reescribe toda tu explicación añadiendo suma/sumatorio de Ramanujan y entonces contentos todos!!!


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Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 07:27:01 pm
Bueno vale, pero esto es un foro de juegos. Si tengo que dar una clase magistral de convergencia de series en vez de una curiosidad matemática divertida habría salido un post plomizo y maul me querría matar.
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: delan en Diciembre 18, 2017, 07:33:56 pm
Que decis de apu de los simpsons????
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 07:41:34 pm
Malditos matematicos lo unico bueno que sacaron fue el Magic

También Battletech CCG, Netrunner y Jyhad.
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Agrivar en Diciembre 18, 2017, 07:42:08 pm
Un pequeño apunte para evitar confusiones de quien quiera seguir el razonamiento. Me parece que hay una errata y hay un sitio donde debería poner "1" en vez de "0".

En esta parte...

Citar
Intuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=0. ¿Qué dará?

Creo que lo correcto debería ser...

Citar
Intuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=1. ¿Qué dará?

... cambiando el "0" final por un "1", para que tenga sentido lo de que "Pero también puede ser A=1". Igual sobra el "¿Qué dará?" final, porque la propia fórmula ya está dando el resultado.

He seguido la explicación hasta el momento en que se explica que A=1/2, que me ha costado horrores entender la lógica detrás del "A-1=A". Tras este esfuerzo de concentración mental, necesito un par de horas de descanso antes de enfrentarme al resto del texto (a poder ser, con un nivel más elevado de alcohol en la sangre, porque con el actual mi cerebro no da más de si).
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: periprocto en Diciembre 18, 2017, 07:43:09 pm
Bueno vale, pero esto es un foro de juegos. Si tengo que dar una clase magistral de convergencia de series en vez de una curiosidad matemática divertida habría salido un post plomizo y maul me querría matar.
Yo te quiero matar igualmente....
 :P
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 07:48:06 pm
Gracias por la corrección, Agrivar. Arreglado.

La forma de calcular todas estas series es operar con ellas para conseguir otra de ellas, para que salgan cosas como 1-A=A, ó 2B=A.

Es más fácil entenderlo si cogéis papel y lápiz, porque en el foro es difícil escribir y leer expresiones matemáticas.
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: UTHIEL en Diciembre 18, 2017, 07:50:34 pm
Bueno vale, pero esto es un foro de juegos. Si tengo que dar una clase magistral de convergencia de series en vez de una curiosidad matemática divertida habría salido un post plomizo y maul me querría matar.
Estoy de acuerdo contigo... 
Pero piensa que algunos somos jugones y otra cosa...  Mayormente frikis!!! 🤣

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Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Ganix en Diciembre 18, 2017, 08:14:37 pm
Después de darle vueltas y sin entrar en polémicas de la utilidad de las sumas estas divergentes (que no tengo ni idea de que va), el error lo veo en asignarle a Á = 1/2.
La serie infinita de A o es 0 o es 1, y como es infinita, se descoce su valor. No veo eso de ni pa ti ni pa mi y hacer la media.

Es como lo de la raíz cuadrada de -1 sea "i".
No hay número que multiplicado por si mismo de -1, por lo qué nos inventamos el número "i" y lo usamos como herramienta matematica.
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 08:25:05 pm
La serie infinita de A o es 0 o es 1, y como es infinita, se descoce su valor. No veo eso de ni pa ti ni pa mi y hacer la media.

Piensas eso porque consideras a "infinito" como un número muy grande y definido, que sólo puede ser par o impar, y por tanto la serie A sólo puede ser 0 ó 1.

Pero no es así, "infinito" no es un número grande, "infinito" es una bomba nuclear que cuando aparece rompe las reglas de juego y hace cosas tan awesome como que la suma de números positivos den algo negativo, o que la suma infinita de ceros pueda dar mayor de cero (convierte una suma que normalmente da cero en algo indeterminado).
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Ganix en Diciembre 18, 2017, 08:32:36 pm
Que va. Para mí infinito es otra herramienta matemática para algo que no se puede cuantificar. Ni par, ni impar, ni grande, ni pequeño. Directamente no tiene valor numérico como tal.

Sólo puedo decir que a menudo sufro sus consecuencias, ya que cuando alguna operación matemática da como resultado infinito (típicamente división entre 0) el controlador se me va a Stop y se me la lia parda en la máquina de turno.
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: periprocto en Diciembre 18, 2017, 08:39:03 pm
Que va. Para mí infinito es otra herramienta matemática para algo que no se puede cuantificar. Ni par, ni impar, ni grande, ni pequeño. Directamente no tiene valor numérico como tal.

Sólo puedo decir que a menudo sufro sus consecuencias, ya que cuando alguna operación matemática da como resultado infinito (típicamente división entre 0) el controlador se me va a Stop y se me la lia parda en la máquina de turno.

Ese resultado no es  infinito, sino indeterminación.
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 08:48:03 pm
Dices que "i" no existe porque ningún número puede dar el resultado de la raíz de -1. Ningún número REAL, mejor dicho.

Tú te plantas y desdeñas los números imaginarios porque para ti solo merecen la pena los reales. Pero... ¿por qué no plantarse antes? ¿Y si nos plantamos en los Naturales? Lo negativo no existe. Es una herramienta matemática falaz sin correspondencia con la realidad. ¿Cómo puedo tener -3 manzanas? Es un bug de Matrix. ¡Conspiración!

Sin embargo, los números negativos son una herramienta útil para hacer cálculos en nuestra vida real. Permiten calcular nuestras deudas. Permiten calcular las magnitudes vectoriales en sentido opuesto (velocidad, aceleración, fuerza, etc...).

Pero, ¿y si te digo que me he hartado de hacer cálculos con números imaginarios con resultado útil en la vida real? Los números imaginarios permiten calcular la fase de señales eléctricas alternas ante elementos con capacitancia/inductancia. Los arquitectos usan números imaginarios para calcular cargas (aunque no sé exactamente cómo porque no soy arquitecto).

En realidad todas las matemáticas son una herramienta. ¿Vas a considerar parte de ellas "indigna" sólo porque tú en concreto no hayas tenido opción de sacarles provecho en la vida real? Tu casa no se cae y tu ordenador funciona... algo de cabida tendrán los números imaginarios en la vida real, ¿no crees?
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: maul en Diciembre 18, 2017, 09:11:36 pm
Bueno vale, pero esto es un foro de juegos. Si tengo que dar una clase magistral de convergencia de series en vez de una curiosidad matemática divertida habría salido un post plomizo y maul me querría matar.

No hombre no que es navidad...casi

(http://olegif.com/bin/gifs/00/74/62.gif)
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Ganix en Diciembre 18, 2017, 10:25:57 pm
Ese resultado no es  infinito, sino indeterminación.

Entiendo que te refieres a que es una indefinición (no indeterminacion), pero en la práctica, se puede considerar que cualquier número dividido entre cero, el resultado es infinito o menos infinito.

Dices que "i" no existe porque ningún número puede dar el resultado de la raíz de -1. Ningún número REAL, mejor dicho.
No he dicho que el número "i" no exista. Digo que como no hay ningún número que multiplicado por si mismo de -1, se usa la ayuda del numero "i". Y con esa ayuda, al final se puede terminar de resolver una ecuación, que de otra manera, no sería posible.

Tú te plantas y desdeñas los números imaginarios porque para ti solo merecen la pena los reales. Pero... ¿por qué no plantarse antes? ¿Y si nos plantamos en los Naturales? Lo negativo no existe. Es una herramienta matemática falaz sin correspondencia con la realidad. ¿Cómo puedo tener -3 manzanas? Es un bug de Matrix. ¡Conspiración!
Desdeñar los número imaginarios!? Que para mi sólo merecen los reales!? No sabía eso de mi, ni pensaba que lo hubiese escrito en el post.
Los números negativos si tienen correspondencia en la realidad. El ejemplo de las manzanas que pones, partiria del planteamiento de un problema que en la realidad no podrías tener. Por ejemplo, tienes 2 manzanas y te quitan 5. Eso en la realidad no es posible, ya que a partir de la segunda manzana, no te podrían quitar más. Pero si se puede usar como bien dices, para calcular una deuda.
En cuanto a los vectores, en ese caso, el signo negativo sirve para marcar dirección. Es decir, el número "transciede" de un simple número y se le añade otra propiedad.

Pero, ¿y si te digo que me he hartado de hacer cálculos con números imaginarios con resultado útil en la vida real? Los números imaginarios permiten calcular la fase de señales eléctricas alternas ante elementos con capacitancia/inductancia. Los arquitectos usan números imaginarios para calcular cargas (aunque no sé exactamente cómo porque no soy arquitecto).
Pues ya somos dos que lo han usado en su vida, a parte d para aprobar algún examen de álgebra.

En realidad todas las matemáticas son una herramienta. ¿Vas a considerar parte de ellas "indigna" sólo porque tú en concreto no hayas tenido opción de sacarles provecho en la vida real? Tu casa no se cae y tu ordenador funciona... algo de cabida tendrán los números imaginarios en la vida real, ¿no crees?
Es serio, no lo considero indigno.
Pero el planteamiento de la fórmula inicial, y volviendo a decir que no tengo ni idea de para que puede servir, le veo que falla en algunos planteamientos. Y que en cierta forma es como un truco de magia. Juega con los números para obtener un resultado.

Mirando en Internet, he visto la siguiente alternativa:

Citar
    1 + 2 + 3 + ⋯ = x
entonces añadiendo 0 a ambos lados da
    0 + 1 + 2 + ⋯ = 0 + x = x por estabilidad.
Por linearidad, uno puede sustraer la segunda ecuación de la primera para dar
    1 + 1 + 1 + ⋯ = x – x = 0.
Añadiendo 0 a ambos lados de nuevo da
    0 + 1 + 1 + 1 + ⋯ = 0,
y sustrayendo las últimas dos series da
    1 + 0 + 0 + ⋯ = 0
lo cual contradice la estabilidad.
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Elessar3019 en Diciembre 18, 2017, 10:49:19 pm
Hola. ¿Es aquí donde uno viene a quejarse del HQ2X?
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Ganix en Diciembre 18, 2017, 11:00:55 pm
Hola. ¿Es aquí donde uno viene a quejarse del HQ2X?
No. Es en la puerta de en frente.
Aquí lo que vamos a intentar es despejar la X de la ecuación que planteas!
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 11:18:41 pm
Esta serie significa que los backers de HQ25A, tras el final de los tiempos, le deberéis un doceavo de pledge a Dionisio.
 ;D

ganix, no te ofendas por las expresiones que he utilizado, no pretendo antagonizarte, sólo convencerte de que los imaginarios no son más invento que los números negativos o los logaritmos.
Título: Re:La suma de todos los números naturales (curiosidad matemática)
Publicado por: MBueno en Diciembre 19, 2017, 12:28:49 am
Bufff vaya lío...me pierdo :o :o

Pero si os gustan los juegos matemáticos os recomiendo el Sopa de Números. Muuuy recomendable os lo aseguro 👌🏼👍🏼