¿Sabéis cuánto da la suma infinita de todos los números naturales? Me refiero a:

1+2+3+4+5+6+7+8+... y así con todos los enteros positivos hasta infinito.

¿Cuánto piensas que da? Debe ser un número grande, gigantesco ¿verdad?



Venga, intenta adivinarlo.



No vais a poder



¿Os lo cuento ya?

El resultado de esta suma es conocido, y es completa y absolutamente flipante. El resultado de esta suma infinita es -1/12 (menos un doceavo). Sí, habéis leído bien, sumar todos los números naturales da como resultado un número negativo y de valor absoluto inferior a 1. Justo lo que no pensabas que iba a ser.

 

¿Pero cómo puede ser esto? Si paras la serie en alguna parte, obtienes un número enorme y positivo, ¿me estás contando que la "infinitud" de la serie rompe las reglas intuitivas y convierte el resultado en -1/12? ¿Qué magia no-convergente es ésta?



Pues sí. Esto no es un truco ni una ilusión, esto es un cálculo matemático real que de hecho ya se ha empleado en algunos estudios físicos. Lo mejor de todo es que su demostración, aunque algo larga, es tan sencilla que hasta un niño puede entenderlo, y resulta muy interesante.

S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12

Vamos a demostrarlo:

Para calcular S antes tenemos que calcular un par de series distintas. La primera es la serie A:

A= 1-1+1-1+1-1+1-1...

A es una suma de unos, positivos en términos impares y negativos en pares. Uno más uno menos uno más uno menos uno...

Intuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=1. Ummmm.... ¿dará cero o dará uno? Vamos a calcular de verdad:

El resultado real se consigue dándonos cuenta que 1-A da la misma serie que la propia A:

1-A = 1- (1-1+1-1+...) = 1-1+1-1+1-... = A

Sabiendo que 1-A=A, despejamos A=1/2. Resulta bastante intuitivo que el resultado bueno en vez de ser 0 ó 1, sea la media de cero y uno. Ni pa ti ni pa mí. Ya tenemos esta.

La segunda serie que hace falta analizar es B, la suma de todos los números naturales, pero a diferencia de S en la que todos suman, en B suman los términos impares y restan los pares:

B=1-2+3-4+5-6+7...

Esta serie se calcula sumando dos veces B, pero desplazando la suma una posición a la derecha:


   B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +...
+  B =     1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
--------------------------------------------
  2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...


Ese resultado me suena. Anda mira, el doble de B es igual a A, la cual ya sabemos que da 1/2. Así que 2B=1/2, por tanto despejamos B=1/4. Ya tenemos esta otra también.

Ahora ya tenemos todas las herramientas necesarias para calcular la suma de todos los números naturales. Entremos a matar:

El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:


   S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...
-  B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -...
--------------------------------------------
S-B = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 +12 + 0 +...


Entonces tenemos que S-B=4+8+12+16+20+... .Esta también es una suma infinita, que aumenta de 4 en 4.

Sacamos 4 como factor común y tenemos que S-B=4*(1+2+3+4+5+6+7...)

Mira, lo que está entre paréntesis es la propia serie S, así que podemos escribir:

S-B=4*S. Sabiendo que B=1/4, sustituimos:

S-1/4=4*S. Y de aquí no cuesta mucho despejar que S=-1/12



Por tanto:

S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12

Cita de: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 06:13:59 PM
¿Sabéis cuánto da la suma infinita de todos los números naturales? Me refiero a:

1+2+3+4+5+6+7+8+... y así con todos los enteros positivos hasta infinito.

¿Cuánto piensas que da? Debe ser un número grande, gigantesco ¿verdad?



Venga, intenta adivinarlo.



No vais a poder



¿Os lo cuento ya?

El resultado de esta suma es conocido, y es completa y absolutamente flipante. El resultado de esta suma infinita es -1/12 (menos un doceavo). Sí, habéis leído bien, sumar todos los números naturales da como resultado un número negativo y de valor absoluto inferior a 1. Justo lo que no pensabas que iba a ser.

 

¿Pero cómo puede ser esto? Si paras la serie en alguna parte, obtienes un número enorme y positivo, ¿me estás contando que la "infinitud" de la serie rompe las reglas intuitivas y convierte el resultado en -1/12? ¿Qué magia no-convergente es ésta?



Pues sí. Esto no es un truco ni una ilusión, esto es un cálculo matemático real que de hecho ya se ha empleado en algunos estudios físicos. Lo mejor de todo es que su demostración, aunque algo larga, es tan sencilla que hasta un niño puede entenderlo, y resulta muy interesante.

S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12

Vamos a demostrarlo:

Para calcular S antes tenemos que calcular un par de series distintas. La primera es la serie A:

A= 1-1+1-1+1-1+1-1...

A es una suma de unos, positivos en términos impares y negativos en pares. Uno más uno menos uno más uno menos uno...

Intuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=0. ¿Qué dará?

El resultado real se consigue dándonos cuenta que 1-A da la misma serie que la propia A:

1-A = 1- (1-1+1-1+...) = 1-1+1-1+1-... = A

Sabiendo que 1-A=A, despejamos A=1/2. Resulta bastante intuitivo que el resultado bueno en vez de ser 0 ó 1, sea la media de cero y uno. Ni pa ti ni pa mí. Ya tenemos esta.

La segunda serie que hace falta analizar es B, la suma de todos los números naturales, pero a diferencia de S en la que todos suman, en B suman los términos impares y restan los pares:

B=1-2+3-4+5-6+7...

Esta serie se calcula sumando dos veces B, pero desplazando la suma una posición a la derecha:

Código [Seleccionar] Expandir


   B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 +...
+  B =     1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - ...
--------------------------------------------
  2B = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...


Ese resultado me suena. Anda mira, el doble de B es igual a A, la cual ya sabemos que da 1/2. Así que 2B=1/2, por tanto despejamos B=1/4. Ya tenemos esta otra también.

Ahora ya tenemos todas las herramientas necesarias para calcular la suma de todos los números naturales. Entremos a matar:

El truco para hallar la suma de la serie S=1+2+3+4+5+6+7+... es restarle B a S:

Código [Seleccionar] Expandir


   S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ...
-  B = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 -...
--------------------------------------------
S-B = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 +12 + 0 +...


Entonces tenemos que S-B=4+8+12+16+20+... .Esta también es una suma infinita, que aumenta de 4 en 4.

Sacamos 4 como factor común y tenemos que S-B=4*(1+2+3+4+5+6+7...)

Mira, lo que está entre paréntesis es la propia serie S, así que podemos escribir:

S-B=4*S. Sabiendo que B=1/4, sustituimos:

S-1/4=4*S. Y de aquí no cuesta mucho despejar que S=-1/12



Por tanto:

S = Sumatorio(n)[de n=1 a infinito] = 1+2+3+4+5+6+7... = -1/12

Discrepo un poco...
Decir que sumatorio de (-1) elevado a n cuando n va desde 1 a infinito es 1/2... Es una temeridad...
Mas bien vale infinito...  Se pueden encontrar 2 subsucesiones diferentes convergentes a numeros diferentes,  1 y - 1...
Luego es una serie divergente,  ya que si fuese convergente cualquier subsucesion de la general convergerian al mismo valor...
Luego...  Lo que digas luego no sirve!!!


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No descartes todo esto tan rápido.

Las sumas divergentes infinitas no pueden sumarse de forma tradicional, pero se les puede asignar la técnica Ramanujan para calcularles una "suma", que se termina empleando y aplicando en campos físicos. Busca "Sumatorio de Ramanujan".

Malditos matematicos lo unico bueno que sacaron fue el Magic

Cita de: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 07:11:58 PM
No descartes todo esto tan rápido.

Las sumas divergentes infinitas no pueden sumarse de forma tradicional, pero se les puede asignar la técnica Ramanujan para calcularles una "suma", que se termina empleando y aplicando en campos físicos con buenos resultados. Busca "Sumatorio de Ramanujan". Es el tipo que calculó esto por primera vez.

Muy bien, informado estoy,  pero por favor,  indica en el titulo del hilo que es Suma de Ramanujan...
Ese es el problema,  usas la palabra "suma" cuando no es la suma tradicional sino la de Ramanujan...
Luego reescribe toda tu explicación añadiendo suma/sumatorio de Ramanujan y entonces contentos todos!!!


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Bueno vale, pero esto es un foro de juegos. Si tengo que dar una clase magistral de convergencia de series en vez de una curiosidad matemática divertida habría salido un post plomizo y maul me querría matar.

Que decis de apu de los simpsons?

Cita de: maul en Diciembre 18, 2017, 07:17:49 PM
Malditos matematicos lo unico bueno que sacaron fue el Magic

También Battletech CCG, Netrunner y Jyhad.

Un pequeño apunte para evitar confusiones de quien quiera seguir el razonamiento. Me parece que hay una errata y hay un sitio donde debería poner "1" en vez de "0".

En esta parte...

CitarIntuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=0. ¿Qué dará?

Creo que lo correcto debería ser...

CitarIntuitivamente, parece que A=0 si emparejamos los unos empezando por el primero (1-1)+(1-1)+(1-1) = 0. Pero también puede ser A=1 si emparejamos los unos empezando por el segundo 1+(-1+1)+(-1+1)=1. ¿Qué dará?

... cambiando el "0" final por un "1", para que tenga sentido lo de que "Pero también puede ser A=1". Igual sobra el "¿Qué dará?" final, porque la propia fórmula ya está dando el resultado.

He seguido la explicación hasta el momento en que se explica que A=1/2, que me ha costado horrores entender la lógica detrás del "A-1=A". Tras este esfuerzo de concentración mental, necesito un par de horas de descanso antes de enfrentarme al resto del texto (a poder ser, con un nivel más elevado de alcohol en la sangre, porque con el actual mi cerebro no da más de si).

Cita de: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 07:27:01 PM
Bueno vale, pero esto es un foro de juegos. Si tengo que dar una clase magistral de convergencia de series en vez de una curiosidad matemática divertida habría salido un post plomizo y maul me querría matar.

Yo te quiero matar igualmente....

Gracias por la corrección, Agrivar. Arreglado.

La forma de calcular todas estas series es operar con ellas para conseguir otra de ellas, para que salgan cosas como 1-A=A, ó 2B=A.

Es más fácil entenderlo si cogéis papel y lápiz, porque en el foro es difícil escribir y leer expresiones matemáticas.

Cita de: Hollyhock en Diciembre 18, 2017, 07:27:01 PM
Bueno vale, pero esto es un foro de juegos. Si tengo que dar una clase magistral de convergencia de series en vez de una curiosidad matemática divertida habría salido un post plomizo y maul me querría matar.

Estoy de acuerdo contigo... 
Pero piensa que algunos somos jugones y otra cosa...  Mayormente frikis!!! 🤣

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Después de darle vueltas y sin entrar en polémicas de la utilidad de las sumas estas divergentes (que no tengo ni idea de que va), el error lo veo en asignarle a Á = 1/2.
La serie infinita de A o es 0 o es 1, y como es infinita, se descoce su valor. No veo eso de ni pa ti ni pa mi y hacer la media.

Es como lo de la raíz cuadrada de -1 sea "i".
No hay número que multiplicado por si mismo de -1, por lo qué nos inventamos el número "i" y lo usamos como herramienta matematica.

Cita de: ganix en Diciembre 18, 2017, 08:14:37 PM
La serie infinita de A o es 0 o es 1, y como es infinita, se descoce su valor. No veo eso de ni pa ti ni pa mi y hacer la media.

Piensas eso porque consideras a "infinito" como un número muy grande y definido, que sólo puede ser par o impar, y por tanto la serie A sólo puede ser 0 ó 1.

Pero no es así, "infinito" no es un número grande, "infinito" es una bomba nuclear que cuando aparece rompe las reglas de juego y hace cosas tan awesome como que la suma de números positivos den algo negativo, o que la suma infinita de ceros pueda dar mayor de cero (convierte una suma que normalmente da cero en algo indeterminado).